[수학] 2024학년도 6월 수학영역 22번 (공통)

1. 문제

 

2. 풀이

a는 0이 아닌 정수이다.

 

1) a > 0

 

 

2) a < 0

 

주어진 f(x)가 실수 전체 구간에서 미분 가능한 함수이므로 평균값 정리에 의해

k < x1 < c1 < x2 < c2 < x3 < k + 3/2 를 만족하는 c1, c2에 의해

 

를 만족시킨다. 

 

열린구간 (k , k + 3/2) 에서 기울기 부호의 변화가 일어나야 하므로

k < 극점 < k + 3/2를 만족하는 k값들의 곱이 -12라는 뜻이다.

 

a는 0이 아닌 정수이므로, 0에서는 반드시 극점을 가진다. 

따라서, k = -1일때

-1 < 0 < 0.5 이므로 위 조건에 만족한다. 

 

정수 k값들의 곱이 -12이고, f(x)가 3차 함수이므로 0이아닌 극값은 단 하나 존재한다.

정수들의 곱으로 나타낼 수 있는 경우의수는 아래 세가지이다.

 

1) 3, 4

2) -4, -3

3) 12

 

1) k = 3, 4일때

4 < 극점 < 4.5를 만족 시켜야 한다. 

3a / 4에서 극점을 가지므로

3 < a < 27/8이다.

 

이를 만족시키는 정수는 없다.

 

2) k = -4, -3일때

-3 < 극점 < 2.5를 만족시켜야 한다.

3a / 4에서 극점을 가지므로

-9/4 < a < -15/8이다.

 

이를 만족시키는 a는 -2이다.

 

3) k = 12일때

12 < 극점 < 13.5를 만족시켜야 한다.

3a / 4에서 극점을 가지므로

9 < a < 81/8

 

a는 10일때 가능하지만, 이때 k = 13일때도 가능하므로 안된다.

 

2)만 유일하게 가능해 a = -2이다.

 

정답은 380이다.

 

사용 기술

정수 분할, 평균값 정리